Brojevi oko nas

Možete li da zamislite svakodnevni život bez brojeva? Bez oznake vrednosti novčanica u ciframa, cena proizvoda u radnjama, brojeva autobusa u koji treba da uđete. Koliko god nam se sistemi brojeva čine prirodnim i normalnim, cifre i oznake za brojeve prošle su dug put do forme koju danas imaju, a mnogi matematičari, astronomi i filozofi dobrano su se namučili tokom vekova da bi nam to obezbedili. Svetska Mreža pomoći će nam da saznamo kakva je istorija nastanka brojeva, njihovo posebno značenje i dalji razvoj.

Najraniji arheološki dokazi o postojanju pojma brojanja i računanja datiraju od pre 20.000 godina. Prvi dokaz brojanja u formi jedinice projavio se na kosti životinje koja je pronađena u Kongu. Na njoj sa obe strane postoje identične oznake, ima ih 60 i podjednako su grupisane. Potreba za nekom formom brojeva javila se u našoj civilizaciji u trenutku kada su ljudi napustili pećine i počeli da grade prve kuće. U Sumi, 4.000 godina pre Hrista, koristili su se tokeni kao brojevi, a oni su im omogućili rani razvoj aritmetike koja im je bila neophodna da bi računali svoje bogatstvo, profit i, ono što je najvažnije, poreze. Neka manje razvijena društva, poput plemena u centralnoj Australiji, nikada nisu koristila brojeve, jer nisu imali potrebu za njima. Život u gradovima zahtevao je više organzacije, a za nju je neophodna artimetika. Na adresi www.vedicsciences.net naćićete detaljan istorijski pregled kako su se brojevi razvijali tokom vekova, koje su oznake koristili stari Egipćani, ali i kako su ljudi došli do definicije decimalnih brojeva, prvo u arapskom svetu, a kasnije i u Evropi.

Nastanak nule

Definisanje nule dugo je mučilo matematičare. Grci su se filozofski pitali kako ništa može da postane nešto. Matematički gledano, nula ima dve funkcije. Prva je da u pozicionim numeričkim sistemima označi prazno mesto, a drugo je sama cifra nule. U Vavilonu, gde su koristili pozicioni numerički sistem, skoro hiljadu godina nisu osetili potrebu da na neki način označe praznu poziciju. Shodno tome, osim tumačenja konteksta u kome se nalaze, brojevi poput 2106 i 216 nisu se razlikovali, što nije pružalo šansu za tačan račun.

Tek oko 400 godine pre Hrista matematičari su smislili oznaku duplih navodnika za prazno mesto, tako da je današnji broj 2106 u njihovom sistemu pisan kao 21“6. Grci ovaj sistem nisu prihvatili, jer su njihovi matematičari baratali s brojevima u formi dužina linija. Međutim, pošto je brojnim grčkim trgovcima bilo neophodno i imenovanje brojeva, matematičari su morali nešto da smisle. Na adresi www‑history.mcs.st‑andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html nalazi se celokupna priča kako su astronomi na kraju odigrali važnu ulogu.

Za današnji sistem brojeva treba da zahvalimo arapskim i indijskim matematičarima. Mnogi istoričari veruju da su za korišćenje nule u Indiji zaslužni astronomi iz Grčke premda ima i onih koji zaslugu za ovu magični cifru pripisuju Indusima. Istorijska je činjenica da su oko 650. godine nove ere matematičari u Indiji počeli da koriste nulu u svom numeričkom sistemu kako bi označili prazno mesto. Sistem brojeva koji ima 10 cifara, pozicioni numerički sistem, u Evropu je doneo italijanski  Leonardo Pisanomatematičar, poznatiji kao Fibonacci. Školovanje je završio u severnoj Africi, gde se upoznao sa indijsko‑arapskim brojevima i predstavio ih u Evropi, koja je do tada koristila rimske brojeve. Doduše i pre njega, u petom veku, jedan rimski pisac počeo je da koristi cifre, samo bez nule, a u jednoj od svojih knjiga o geometriji, on objašnjava kako da se koristi abakus.

Osnova 10

Na adresi www.archimedes‑lab.org, možete da pročitate kako su se simboli za cifre menjali sa arapskih, preko srednjovekovnih oznaka i saznaćete da pojedine cifre nisu puno promenile svoju formu. Na istoj adresi dato je i poreklo naziva brojeva koji se danas koriste, ali i kako su se s brojevima snalazili matematičari iz Kine i Japana u sistemu koji poprilično liči na današnji binarni sistem brojeva.

Sistem brojeva koji se danas koristi u svakodnevnom životu bazira se na osnovi 10, ali izgovaranje brojeva na različitim jezicima nije uvek isto. Tako imamo jezike koji imenovanje brojeva zasnivaju na osnovi 10, zatim one koji uglavnom zasnivaju na bazi 10, jezike koji koriste isključivo bazu 20 i jezike koji kombinuju ove dve baze. Tipičan primer je francuski koji do broja 70 koristi osnovu 10 a za veće brojeve osnovu 20.

Na adresi www.cerme7.univ.rzeszow.pl/WG/2/CERME7_WG2_Ejersbo_Misfeldt.pdf, nalazi se zanimljiva analiza ispisivanja brojeva u engleskom, danskom i japanskom jeziku. Naime, ustanovljeno je da deca u Danskoj imaju problema u razumevanju brojeva zbog kompleksnosti samog izgovaranja. Danski jezik za imenovanje brojeva koristi osnovu 20, tako da se naziv broja 50 prevodi kao 2,5×20. Ovakvo imenovanje brojeva ne predstavlja problem samo onima koji uče danski već i njihovoj deci, jer ona moraju da pamte brojne nazive.

Nešto (i)racionalno

Jedan od najpopularnijih iracionalnih brojeva jeste PI. On predstavlja matematičku konstantu, odnos obima kruga i njegovog prečnika, i nije ga moguće predstaviti u formi razlomka. Računanje ovog broja na što više decimala izazov je za matematičare, jer u decimalnom nizu nisu ustanovljenje grupe cifara koje se ponavljaju. Za postojanje ovog broja znali su i matematičari iz Vavilona, kao i Egipćani, ali najbližu aproksimaciju broja PI dao je Arhimed. Koristeći Pitagorinu teoremu, on je došao do zaključka da se vrednost ove konstante nalazi negde između brojeva 3 1/7 i 3 10/71.

Ovaj broj je dobio ime negde oko 1700. godine, a korišćenje grčkog slova pi popularizovao je Leonhard Euler, koji je prihvatio ovu oznaku 1737. godine. Na Web stranici koja je posvećena matematici www.math.com, pored priče o samom broju PI, možete da nađete i prikaze ovog broja sa sračunatih 100, 1000 i više decimalnih mesta. Na osnovu različitih formula koje su date i opisane, možete i sami da pristupite računanju broja PI do koliko god decimala želite. Iako u proračunima u kojima se danas ovaj broj koristi ne postoji potreba za tolikim brojem decimalnih mesta i tolikom preciznošću, matematičarima predstavlja izazov da obaraju rekorde u izračunavanju broja PI sa što više decimalnih mesta.

Stari grčki matematičari davno su ustanovili relaciju između brojeva, prirode i harmonije. Po njihovoj teoriji, broj jedan je osnovni broj, od koga je nastalo sve ostalo. Broj dva je označavao ženski rod, broj tri muški, dok je broj pet, koji predstavlja zbir ova dva broja, bio oznaka za brak. Pitagora i njegovi učenici bili su fascinirani celim brojevima. Oni su definisali i savršen broj, koji predstavlja zbir njegovih delilaca, ne uključujući i sam broj. Prvi i najmanji savršeni broj je šest, a sledeći su 28, 496, 8128… Nastavljajući svoje istraživanje i potragu za savršenim brojevima, starim Grcima bila su poznata četiri savršena broja, a potraga se i dalje nastavlja. Do danas nije dokazano da li je broj savršenih brojeva konačan, i nije pronađen ni jedan neparan savršen broj, mada nije ni dokazano da takav ne postoji. Matematičari nastavljaju potragu.

Ako stari Grci i nisu imali zgodne oznake za brojeve, to ih nije sprečilo da otkriju mnoge karakteristike brojeva koje se i dan‑danas koriste. Na adresi www.mlahanas.de/Greeks/Primes.htm, možete da pročitate o nekim otkrićima matematičara tog doba, poput otkrića prostih brojeva i činjenice da ih ima neograničeno mnogo i da nisu ravnomerno raspoređeni.

Zlatni presek

Još jedan broj obeležio je ne samo istoriju matematike već i umetnosti tokom vekova – zlatni presek PHI=(a+b)/a=a/b, koji iznosi 1,618. Ovaj broj krase karakteristike koje nisu pronađene ni kod jednog drugog broja. Na adresi www.goldennumber.net, čije su stranice posvećene samo ovom broju, naći ćete pregršt tekstova koji se odnose na upotrebu PHI u svakodnevnom životu, matematici, geometriji, teologiji, ali i dizajnu i arhitekturi. Idealne proporcije ljudskog lica trebalo bi da se uklapaju u zlatni odnos – mnogi smatraju da, ukoliko lice ne poseduje ove proporcije, osoba ima nekih zdravstvenih problema. Recimo, ako je lice duže, to je sklonost ka problemima sa disanjem, dok osobe sa kraćim licem imaju problema s vilicom. Neka istraživanja pokazala su da ljudi s kraćim licima često pate od glavobolja, jer su njihove vilice pozicionirane na takav način da smanjuju protok krvi u mozak. Ukoliko vas interesuje koja je povezanost zlatnog broja sa Fibonačijevim nizom ili gde se u prirodi može naći zlatni presek, posetite ove stranice.

Iako iza sebe nema nikakvo istorijsko pokriće, broj koji je u novijoj istoriji privukao mnogo pažnje jeste 42, koji je dat kao odgovor na ultimativno pitanje o životu, univerzumu i svemu. Zamišljenom kompjuteru Duboka misao trebalo je 7,5 miliona godina da pronađe i proveri ovaj odgovor, i mnogi čitaoci knjige „Vodič kroz galaksiju za autostopere“ pitaju se zašto je pisac izabrao baš taj broj. Douglas Adams nikada nije dao precizan odgovor osim da mu se taj broj jednostavno svideo. Međutim, u prirodi ovaj broj igra veliku ulogu, a kakva je povezanost duge i broja 42 možete da saznate na stranicama askabiologist.asu.edu/recipe‑rainbows.

Matematičar Paul Cooper sračunao je 1966. godine zanimljivu stvar – ukoliko bi se prokopao tunel kroz centar Zemlje, i u njemu napravio vakuum, put s jednog kraja planete na drugi trajao bi tačno 42 minuta. Pored toga, ovaj broj pominje se u različitim okolnostima u skoro svim religijama sveta, dok svoje značenje ima i u delima pisca i matematičara Lewis‑a Carroll‑a, koji u svojoj knjizi Alisa u zemlji čuda, u nekoliko navrata koristi baš ovaj broj.

Brojevi i kulture

Na adresi www.crystalinks.com, u delu prezentacije koji se bavi numerologijom, nalazi se detaljno objašnjenje brojeva i njihovo značenje u raznim kulturama. Recimo, broj pet označava ljudski organizam. Kada raširimo ruke i noge, naše telo formira pentagram. Kod Grka i Rimljana broj pet predstavljao je broj ljubavi i jedinstva, broj Venere, a Apolon je imao pet glavnih karakteristika. U islamu postoji pet stubova religije i pet molitvi tokom dana, a alhemičari su smatrali da cvetovi s pet latica predstavljaju suštinu.

Broj sedam takođe ima dosta značenja u ljudskoj istoriji. Smatra se da on označava univerzum, postoji sedam starih svetskih čuda, sedam stubova mudrosti, dok se u egipatskoj mitologiji pojavljuje sedam kuća podzemnog sveta, a u muzičkom sistemu postoji sedam nota. Pored pomenutih brojeva, na ovim stranicama možete da saznate da li je 13 zaista nesrećan broj, ali i da pročitate kako je značaj nule ovde protumačen.

Kada odrastemo, sistem brojeva i njihovo imenovanje doživljavamo kao nešto prirodno, ali činjenica je da se ljudi ne rađaju sa inicijalnim razumevanjem brojeva. Matematički koncepti su apstraktni, i tokom godina školovanja usađuju se u dečje razumevanje. Istraživanja su pokazala da su deca već u uzrastu od šest meseci u stanju da na veoma jednostavnom nivou primećuju razliku dve različite numeričke vrednosti. Utvrđeno je da se već u tako ranom dobu može predvideti da li će dete u budućnosti biti matematički genije ili neće. Na adresi www.medicaldaily.com, možete da nađete rezultate ovog istraživanja koje je rađeno nekoliko godina na istom uzorku, od trenutka kada su imali manje od godinu dana pa do 11. godine.

Ako umesto knjiga više volite filmove o brojevima, preporučujemo vam film The Story of 1, gde poznati pajtonovac Terry Jones priča o istoriji brojeva. Ako vas ova priča zainteresuje da pomnije istražite brojeve i njihovu istoriju, svetska Mreža tu je da vam pomogne.

Vesna Milošević

(Objavljeno u Časopisu PC#222)